NEXUS 5 にSMS機能なしのSIMを挿すと「通信サービスなし」が表示されるので、SIMを交換しました。
交換手数料￥2,160と古いSIMの返却（ヤマトメール便）送料が勿体無いですが、通知が出続けるよりは良いかなと。（調べると「セルスタンバイ問題」というバッテリーの問題もあるようですし）
しかしSMSを全く使わないのに￥151/月 を払うのは納得いきませんが…（金額の問題ではなく）
少し調べてからにすれば良かったと反省してます。。。
色々と調べている中で、GALAXY S（SC-02B）でAndroid4.4（KitKat）が動くらしく、すっかり関連記事に夢中になってしまいました。
今は時間がないですが、これはもう眠っているSC-02BにKitKatを入れるしかないですね。楽しみです。